Pular para o conteúdo principal

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS


Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
  1. a x + b = 0
  2. a x² + bx + c = 0
  3. a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
eq_alg_01.png
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac

Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
  1. 2 x² + 7x + 5 = 0
  2. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
  1. 4 x² + 6x = 0
  2. 3 x² + 9 = 0
  3. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0   ou    x" = -b/a

Exemplos gerais
  1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
  2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
  3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
  4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
  1. x² + 6x = 0
  2. 2 x² = 0
  3. 3 x² + 7 = 0
  4. 2 x² + 5 = 0
  5. 10 x² = 0
  6. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
  1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
  2. Se D=0, há duas soluções iguais:
    x' = x" = -b / 2a
  3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
    x' = (-b + R[D])/2a
    x" = (-b - R[D])/2a
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.
EquaçãoabcDeltaTipos de raízes
x²-6x+8=01-684reais e diferentes
x²-10x+25=0
x²+2x+7=0
x²+2x+1=0
x²+2x=0

O uso da fórmula de Bhaskara
Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
  1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
  2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
  3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
  4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
    eq_alg_01.png
  5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
    x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
    x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios
  1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
    1. x² + 9 x + 8 = 0
    2. 9 x² - 24 x + 16 = 0
    3. x² - 2 x + 4 = 0
    4. 3 x² - 15 x + 12 = 0
    5. 10 x² + 72 x - 64 = 0
  2. Resolver as equações:
    1. x² + 6 x + 9 = 0
    2. 3 x² - x + 3 = 0
    3. 2 x² - 2 x - 12 = 0
    4. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau
São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.
Exemplos:
  1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
  2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0
Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.
  1. Consideremos o primeiro exemplo:
    3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
    x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
    MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)
    Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
    [3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0
    o que significa que o numerador deverá ser:
    3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0
    que desenvolvido nos dá:
    x2 + 3x - 13 = 0
    que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.
  2. Consideremos agora o segundo exemplo:
    (x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)
    O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:
                                        (x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0
    Solução: x'=4 ou x"= -1
  3. Estudemos outro exemplo:
    3/(x²-4)+1/(x-2)=0
    O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
    3 + (x+2)=0
    cuja solução é x= -5
Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:
  1. x + 6/x = -7
  2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
  3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
  4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas
São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0
Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:
y = x²
para gerar
a y² + b y + c = 0
Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que
x² = y'   ou   x² = y"
e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.
Exemplos:
  1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
    x² = 4   ou   x² = 9
    o que garante que o conjunto solução é:
    S = { 2, -2, 3, -3}
  2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
    x² = -4   ou   x² = 9
    o que garante que o conjunto solução é:
    S = {3, -3}
  3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
    x² = -4   ou   x² = -9
    o que garante que o conjunto solução é vazio.




1 -  Anote o problema. O primeiro passo é anotar o problema para que possa começar a visualizar a solução. Digamos que ele seja o seguinte: -4x + 7 = 15.
2 - Decida se usará soma ou subtração para isolar a variável. O próximo passo é achar uma forma de deixar "-4x" de um lado e as constantes (números inteiros) do outro. Para isso, terá que usar a "aditiva inversa" achando o oposto de +7, que é -7. Subtraia 7 de ambos os lados da equação para que o "+7" do mesmo lado da variável seja cancelado. É só escrever "-7" abaixo do 7 de um lado e do 15 do outro, para que a equação continue balanceada.Lembre-se da regra de ouro da álgebra. O que você fizer a um lado da equação deverá ser feito do outro para manter o equilíbrio. É por isso que se subtrai 7 do 15 também. Precisamos tirar 7 apenas uma vez de cada lado, por isso é que ele não é subtraído de -4x também.

    3 - Some ou subtraia a constante a ambos os lados da equação. Isso completará o processo de isolar a variável. Subtrair 7 de +7 do lado esquerdo da equação não deixará nenhum termo constante do lado esquerdo. Subtraindo o mesmo número de +15, você terá 8 do lado direito da equação. Assim, a nova equação será -4x = 8.
    • -4x + 7 = 15 =
    • -4x = 8     


    4 - Elimine os coeficientes da variável usando divisão ou multiplicação. O coeficiente é o número ligado à variável. Nesse exemplo, ele é -4. Para removê-lo, será necessário dividir os dois lados da equação por -4.
    • Novamente, tudo o que for feito de um lado da equação deve ser feito do outro. É por isso que você verá ÷ -4 duas vezes.

    5 - Resolva a variável. Para isso, divida o lado esquerdo da equação, -4x, por -4 para obter x. Divida o lado direito, 8, por -4 para obter -2. Portanto, x = -2. Você precisou de dois passos - subtração e divisão - para resolver essa equação.



                                            MÉTODO 2


    1 - Anote o problema. Este será: -2x - 3 = 4x - 15. Antes de prosseguir, veja se as duas variáveis são iguais. Nesse caso, "-2x" e "4x" têm a mesma variável, "x", por isso você pode prosseguir.
    2. Imagem intitulada Solve Two Step Algebraic Equations Step 10

      2- Mova as constantes para o lado direito da equação. Para isso, será necessário usar adição ou subtração para eliminar a constante do lado esquerdo. Ela é -3, então você terá que pegar seu oposto, +3, e somá-lo aos dois lados da equação.
      • Fazer isso lhe dará (-2x -3) +3, ou -2x do lado esquerdo.
      • Adicionar +3 ao lado direito da equação lhe dará (4x - 15) +3, ou 4x - 12.
      • Dessa forma, (-2x -3) +3 = (4x -15) +3 = -2x = 4x -12
      • A nova equação será -2x = 4x -12

    3. Imagem intitulada Solve Two Step Algebraic Equations Step 11

      3- Mova as variáveis para o lado esquerdo da equação. Para isso, você só terá que pegar o "oposto" de "4x", que é "-4x", e subtraí-lo de ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, -2x - 4x = -6x, e do lado direito, (4x -12) -4x = -12, portanto a nova equação será -6x = -12.
      • -2x - 4x = (4x - 12) - 4x = -6x = -12
    4. Imagem intitulada Solve Two Step Algebraic Equations Step 12

      4- Resolva a variável. Agora que simplificou a equação para -6x = -12, só precisa dividir ambos os lados por -6 para isolar a variável x, que agora está sendo multiplicada por -6. Do lado esquerdo da equação, -6x ÷ -6 = x, e do lado direito, -12 ÷ -6 = 2. Portanto, x = 2.
      • -6x ÷ -6 = -12 ÷ -6
      • x = 2



















    Comentários

    Postar um comentário

    Postagens mais visitadas deste blog

    Cinemática Escalar

    Cinemática Escalar   é o ramo da  Física , especificamente da  Mecânica , que  estuda o movimento realizado pelos corpos sem se preocupar com suas causas. Ponto material É todo corpo cujas dimensões são desprezíveis em relação a um dado  referencial. Exemplo: um transatlântico atravessando o  Oceano Pacífico torna-se uma partícula quando comparado à dimensão do oceano. Essa partícula não impede que algum tipo de estudo seja feito nesse oceano. Corpo Extenso É a interferência de um corpo cujas dimensões atrapalham o estudo de determinado fenômeno. Exemplo: o mesmo transatlântico do exemplo anterior, agora ancorado em um porto. Para esse caso, as dimensões do transatlântico não podem ser desprezadas, porque agora estão sendo comparadas às dimensões do porto. Referencial Também conhecido como  sistema de referência , é um corpo ou um ponto que adotamos como referência para analisar determinado fenômeno.  O referencial que adotamos com maior frequênci...
    Postar um comentário
    Leia mais

    O que é calor?

                                                      Quando sentimos o dia quente, é porque ocorre passagem de calor do meio ambiente para o nosso corpo O  calor  é a energia térmica que passa de um corpo com maior temperatura para outro com menor temperatura. Quando não há diferença de temperatura entre dois corpos, não existe calor. A imagem acima mostra a passagem de calor de um corpo com temperatura T para outro corpo de temperatura menor correspondente a T'. Quando as temperaturas dos corpos igualarem-se, dizemos que o  equilíbrio térmico  foi atingido e, nesse momento, como não haverá diferença de temperatura, o calor deixará de fluir. Veja agora alguns pontos importantes a respeito do calor: 1) CALÓRICO:  Até o início do século XIX, acreditava-se que o calor estava relacionado com a presença de um fluido invisível e sem peso denominado...
    Postar um comentário
    Leia mais

    COMPREENSÃO E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS

    É sempre bom ressaltar sobre a importância da interpretação textual, pois sua ocorrência não se dá somente no meio educacional, mas também em concursos de uma forma geral. Aprimorar nossa competência no sentido de analisarmos minuciosamente um texto é requisito básico para a eficácia dos resultados. Mas existe um procedimento específico para isto? Como sabemos, a nossa capacidade no que se refere à escrita vai sendo aperfeiçoada paulatinamente, ou seja, fatores primordiais, como o hábito constante de leituras é decisivo para essa conquista. Dessa forma, o enriquecimento do vocabulário, o domínio das estruturas linguísticas, como também a interpretação textual são competências adquiridas ao longo de nossa experiência. Interpretar um texto significa  “desvendar seus mistérios”  quanto à questão do discurso, pois esse (o discurso) representa a mensagem que ora se deseja transmitir. Quando falamos em  interpretação,  esta engloba uma série de particularidades, tais ...
    Postar um comentário
    Leia mais