MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

 
Em uma matriz, os elementos estão dispostos em linhas e colunas.

Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por a_ii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n.

Nessa matriz, temos que:

a_ij → linha (i) e coluna (j)

a_1,1 → linha 1 e coluna 1
a_1,2 → linha 1 e coluna 2
a_1,3 → linha 1 e coluna 3
a_1,n → linha 1 e coluna n

a_2,1 → linha 2 e coluna 1
a_2,2 → linha 2 e coluna 2
a_2,3 → linha 2 e coluna 3
a_2,n → linha 2 e coluna n

a_m,1 → linha m e coluna 1
a_m,2 → linha m e coluna 2
a_m,3 → linha m e coluna 3
a_m,n → linha m e coluna n

Diagonais da Matriz

Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz:

Diagonal Principal

a_1,1 → linha 1 e coluna 1
a_2,2 → linha 2 e coluna 2
a_3,3 → linha 3 e coluna 3

Diagonal Secundária

a_1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4
a_2,2 → linha 2 + coluna 2 = 4
a_3,1 → linha 3 + coluna 1 = 4

Matrizes Especiais

Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:

• Matriz quadrada: é toda a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos:

Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.

• Matriz identidade: todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais números são iguais a zero.

• Matriz nula: é toda matriz em que seus elementos são iguais a zero.

• Matriz linha: é formada por uma única linha.

• Matriz coluna: é formada por uma única coluna.

Operações com matrizes

As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.

• Adição: Sejam A e B duas matrizes em que a sua soma resulta em uma matriz C.
  A + B = C

Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo:

A + B = C
A _{2 x 3} + B_{2 x 3} = C_{2 x 3}

Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.

• Subtração: A partir de duas matrizes A e B, definimos a sua diferença como C:
  A – B =C
  A + (- B) = C

A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:

• Multiplicação: Dadas as matrizes A_{m x n} e B_{n x p}, para que seja possível realizar o seu produto, o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B. Esse processo resulta em uma matriz C_{m x p.} Observe o exemplo abaixo e veja como isso é feito:

Descrição dos elementos da matriz:

a_1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a_1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a_1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

a_2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B.

a_2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B.

a_2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B.

Determinante

Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe:

Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.

• Caso A possua uma linha e uma coluna (A_{1 X 1}), então o determinante será representado pelo único elemento que compõe A. Exemplo:
  A = (10)
  det A = 10
• Se A possuir duas linhas e colunas (A_{2 x 2}), então o determinante (det A_{2 x 2}) será dado pela diferença entre os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua diagonal secundária. Veja abaixo como é feito o cálculo do determinante de uma matriz 2 por 2 (A _{2 X 2}).

Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M _{3 X 3}, M _{4 X 4}, M _{5 X 5} e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:

1. Faça o espelhamento da primeira e da segunda coluna da matriz, ou seja, repita a primeira e a segunda coluna;
2. Realize os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente;
3. Efetue a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal;
4. Realize a diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz.

det M_{3 X 3} = a _1,1 . a _2,2 . a _3,3 + a _1,2 + a _1,2 . a _2,3 . a _3,1 + a _1,3 . a _2,1 . a _3,2 - ( a _1,3 . a _2,2 . a _3,1 + a _1,1 . a _2,3 . a _3,2 + a _1,2 . a _2,1 . a _3,3).