Polinômios

Um pouco de história

A grande maioria das pessoas que estão em processo de aprendizagem em matemática sempre buscam aplicações imediatas para os conteúdos. Não que esse deva ser um caminho único a ser seguido, pelo contrário, a compreensão de seu valor abstrato, perpassante do território da realidade, é indubitavelmente importante. Faço aqui um comparativo entre duas matemáticas, que por mais que sejam admiráveis, tem seus campos estudados por pesquisadores diferentes. É sabido que os matemáticos reconhecem a existência dessas duas matemáticas, porém dificilmente dominam as duas simultânea e profundamente.

Falo da matemática utilitária e da matemática abstrata. Enquanto a primeira se relaciona com as questões diárias, os problemas, as demandas, ou seja, questões atuais que requerem soluções imediatas, a outra se refere ao pensamento abstrato, o conhecimento pensado e criado no campo da imaginação, do mundo teórico. É bom frisar que a matemática utilitária não se relaciona apenas com questões práticas, mas também a teorias abstratas que reflitam ao pensamento moderno decorrente da realidade vigente.

O filósofo grego Platão diferenciava a matemática utilitária, importante para comerciantes e artesãos, da matemática abstrata, destinada a elite. Um representante dessa elite foi Alexandre da Macedônia, também conhecido por Alexandre o Grande, que teve como seu preceptor Aristóteles. Mas foi no século III a.C. que surgiu o matemático Arquimedes de Siracusa, esse talvez tenha sido o primeiro a desenvolver com competência as duas matemáticas da qual estamos nos referindo.

Para mais informações sobre a história de monômios e polinômios, leia o artigo Monômios.

Ocorrência de polinômios

Perímetros de figuras planas

Cálculo de distâncias

Cálculo de áreas

• Todo monômio é considerado polinômio;
• Os monômios integrantes de um polinômio são chamados termos do polinômio;
• 5x² → é um polinômio de um único termo (monômio);
• 2x – y → é um polinômio de dois termos: 2x e - y.

Redução de Polinômios

Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

Observações:

De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:

• monômio, quando há apenas um termo;
• binômio, quando há dois termos;
• trinômio, quando há três termos;
• acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.

Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu grau em relação a uma de suas variáveis.

• 8m³n + m⁴n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em relação à n.
• x⁸y⁵ + x¹⁰y² → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em relação à y.

Polinômio com uma só variável

A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções. Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.

2x – 7                           x² + x + 3

Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser um polinômio incompleto.

7x³ + 2x + 3                          x² + 3

• 7x³ + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x³ + 0x² + 2x + 3;
• x² + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x² + 0x + 3.

Adição de polinômios

A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:

Multiplicação de um monômio por um polinômio

Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:

Multiplicação de um polinômio por outro polinômio

Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.

Divisão de um polinômio por um monômio

O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as propriedades da potenciação.

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y)

10x⁴y⁶ : x²y = 10x²y⁵; x³y⁴ : x²y = xy³ e x²y² : x²y = y

Ou seja,

(10x⁴y⁶ + x³y⁴ + x²y²) : (x²y) = 10x²y⁵ + xy³ + y.

Divisão de um polinômio por outro polinômio

A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão abordado nas séries iniciais.

“Devemos promover uma educação que valorize o respeito às diferenças e, principalmente, a paz mundial”. 
Robison Sá.

Referências bibliográficas
SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRICIA MORENO. Vontade de saber matemática: 8° ano. São Paulo: FTD, 2009. 288p. (Coleção vontade de saber).
D’AMBROSIO, UBIRATAN. Educação Matemática: da teoria à prática. – 23ª ed. – Campinas, SP: Papirus, 2012. – (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).