Arranjo simples

Utilizamos o arranjo simples para obter a quantidade de agrupamentos possíveis de serem realizados com os elementos de um conjunto finito. No arranjo os elementos trocam de posição, ou seja, ordem. Com isso os agrupamentos tornam-se distintos, por possuírem seus elementos organizados em uma ordem diferente. Veja a seguir um exemplo de arranjo simples.

Exemplo: Mostre os agrupamentos possíveis de serem realizados com o conjunto A ={5,6,7,8}; cada agrupamento deve possuir 3 elementos distintos.

Reposta:

(5,6,7) (5,6,8) (5,7,8) (6,7,8)

(5,7,6) (5,8,6) (5,8,7) (6,8,7)

(6,5,7) (6,5,8) (7,5,8) (7,6,8)

(6,7,5) (6,8,5) (7,8,5) (7,8,6)

(7,6,5) (8,5,6) (8,5,7) (8,7,6)

(7,6,5) (8,6,5) (8,7,5) (8,6,7)

Observe que as sequências formadas com 3 elementos são diferentes entre si, em alguns casos o conjunto possui os mesmo termos que outro conjunto, o que muda é a posição dos elementos. Como é o caso de (5,6,7) e (5,7,6); observe que os elementos 6 e 7 trocaram de posição, as sequências obtidos com três elementos referentes ao conjunto A ={5,6,7,8}; são chamadas de arranjo simples.

Do exemplo acima obtemos que de um conjunto com 4 elementos distintos, podemos obter 24 arranjos simples. Podendo ser representar da seguinte forma:

A4,3=24

Para encontramos a quantidade de arranjos possíveis sem precisarmos expressas cada arranjo individualmente, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem.

Definição: Dado um com A = {a₁, a₂, a₃, ..., a_n} com n elementos distintos, chamaremos de arranjo simples toda a sequência formada por uma quantidade delimitada de elementos, sendo todos esses elementos pertencentes ao conjunto A.

Formula Geral para calcular o Arranjo Simples

An,p=n!(n−p)!

• n = Quantidade total de elementos no conjunto.
• P =Quantidade de elementos por arranjo

Exemplos:

Dado o conjunto B = {d,e,f,g}, responda:

a) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 2 a 2?

Para calcular a quantidade de arranjos, basta aplicar a fórmula:

An,p=n!(n−p)!

Nessa questão temos que:

n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B)

p = 2 (Quantidade de elementos por arranjo)

Substitua na equação n por 4 e p por 2

A4,2=4!(4−2)!

A4,2=4!2!

A4,2=4⋅3⋅2!2!

A4,2=4⋅3

A4,2=12

Tomando os elementos do conjunto B de 2 a 2, será possível formar 12 arranjos.

b) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 3 a 3?

Aplicaremos a fórmula para arranjo simples:

An,p=n!(n−p)!

Nessa questão temos que:

n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B)

p = 3 (Quantidade de elementos por arranjo)

Substitua na equação n por 4 e p por 3

A4,3=4!(4−3)!

A4,3=4!1!

A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1

A4,3=4⋅3⋅2

A4,3=24

Tomando os elementos do conjunto B de 3 a 3, será possível formar 24 arranjos.

Origem: https://www.infoescola.com/combinatoria/arranjo-simples/