Triângulo de Pascal

Para melhor entendimento a respeito das propriedades do Triângulo de Pascal, vamos apresentar o conceito de combinação e coeficientes binomiais.

Imagine o seguinte cenário: Estamos organizando um campeonato de xadrez com 12 participantes. De quantas maneiras possíveis podemos criar as duplas para disputar a primeira partida? Este problema pode ser solucionado calculando a combinação de 12 jogadores organizados de 2 em 2. Que nos traz:

C12,2=12!2!⋅(12−2)!=12!2!⋅10!=12⋅11⋅10!2!⋅10!=12⋅112=66

Temos então 66 formas diferentes de organizar as duplas a partir dos 12 primeiros participantes. Há uma outra notação para a operação de combinação, ou coeficiente binomial, que é dada por:

Cn,r=(nk)=n!k!⋅(n−k)!

O triângulo de Pascal (que na Itália é chamado de triângulo de Tartaglia e na China, triangulo de Yang Hui) é uma construção de números infinitos formado por números binomiais (nk) onde n representa o número da linha e k o número da coluna que ele está. Lembrando que 0!=1. Temos então:

Se desenvolvermos todos os coeficientes binomiais acima obtemos um triângulo composto pelos seguintes números:

Propriedades interessantes

O triângulo de Pascal possui diversas relações curiosas entre aos seus elementos. Vejamos algumas:

P1) Cada número do triângulo de Pascal é a soma dos dois números acima:

Esta propriedade também é chamada de Relação de Stifel, que formalmente pode ser escrita como:

(n−1k−1)+(n−1k)=(nk)

P2) A soma de cada linha nos traz em ordem todas as potências de 2:

1=20

1+1=2=21

1+2+1=4=22

1+3+3+1=8=23

1+4+6+4+1=16=24

1+5+10+10+5+1=32=25

P3) Se escrevermos em ordem cada linha do triângulo de Pascal como se fossem um número único temos todas as potências de 11:

1=110

11=111

121=112

1.331=113

14.641=114

161.051=115

1.771.561=116

P4) O triângulo de Pascal possui uma simetria entre os seus elementos que nos garante a seguinte igualdade:

(nk)=n!k!⋅(n−k)!=n!(n−k)!⋅k!=(nn−k)

Aplicações - expressão binomial

Os números da forma (nk) aparecem como coeficientes no desenvolvimento de expressões binomiais (a+b)n e quando for um número inteiro positivo, dizemos que:

(a+b)n=(a+b)⋅(a+b)...(a+b)

Exemplos:

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6=a6+6a5+b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Note os coeficientes obtidos nas expressões binomiais acima. Se reescrevê-los na forma de um triângulo obtemos o triângulo de Pascal.

Quando multiplicamos (a+B) n vezes, cada termo será formado de k elementos a e de (n-k)elementos b, onde k=0, 1, 2, 3...n . Então surge a pergunta: Quantos termos da forma akbn−kexistirão: Simplesmente contaremos o número de maneiras possíveis de escolher k dentre os nelementos a, deixando de lado a ordem, ou seja, isso será justamente dado por (nk). Daí obtemos o que é conhecido como o teorema binomial, ou Binômio de Newton:

(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k

Referências Bibliográficas

MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. São Paulo: Editora Livros Técnico Científicos, 1975.

]ROONEY, Anne. A História da Matemática. São Paulo: Editora M. Books, 2012.

Origem: https://www.infoescola.com/combinatoria/triangulo-de-pascal/